Efter studier bland annat på Operahögskolan i Stockholm debuterade Falkman på Kungliga Operan 1973 som Ferdinand i Tintomara av Lars Johan Werle. Han har vid samma scen senare kommit att göra flera av de stora barytonrollerna i operarepertoaren, bland annat som Papageno i Trollflöjten, titelrollen i Don Giovanni, Figaro i Barberaren i Sevilla och titelrollen i Eugen Onegin. 1999 gjorde han titelrollen i Wozzeck av Alban Berg på Kungliga Operan. Uppsättningen finns även inspelad och utgiven på CD.
Sitt internationella genombrott fick Falkman i Paris som Escamillo i Carmen i regi av Peter Brook. På svenska scener har han gjort flera uppmärksammade rollprestationer inom opera, operett och musikal, bland de förstnämnda titelrollen i Rigoletto i Malmö, bland de sistnämnda professor Higgins i My Fair Lady på Oscarsteatern i Stockholm. Han har haft ledande roller i flera uppmärksammade svenska filmer och TV-serier sedan mitten av 1980-talet, t ex i Susanne Biers film Pensionat Oskar . Dessutom har han gjort en karriär inom populärmusiken.